题目内容
【题目】(本小题满分13分)已知函数(
为常数,
)
(1)若是函数
的一个极值点,求
的值;
(2)求证:当时,
在
上是增函数;
(3)若对任意的,总存在
,使不等式
成立,求正实数
的取值范围.
【答案】(1)2;(2)见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)利用函数在处的导数为0即可求出
的值;(2)利用函数的单调性与导数的关系跑到导函数在区间
上恒大于0即可(3)若可导函数
在指定的区间
上单调递增(减),求参数问题,可转化为
恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.
试题解析: 1分
(1)由已知,得且
,
2分
3分
(2)当时,
4分
当
时,
又
5分
故在
上是增函数
(3)时,由(2)知,
在
上的最大值为
于是问题等价于:对任意的,不等式
恒成立. 7分
记
则. 8分
因为 9分
若,可知
在区间
上递减,在此区间上,有
,与
恒成立相矛盾,故
,这时
, 12分
在
上递增,恒有
,满足题设要求,
即
实数
的取值范围为
14分
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