题目内容
【题目】若正整数数列
，
满足：对任意
，
，都有
恒成立，则称数列，为“友好数列”.
（1）已知数列，的通项公式分别为
，
，求证：数列，为“友好数列”；
（2）已知数列，为“友好数列”，且
，求证：“数列是等差数列” 是“数列是等比数列”的充分不必要条件.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】
（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；
（2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可.
（1）因为数列
，
的通项公式分别为
，
，
所以有
，
令
所以有
，
得：
所以
，
而
，因此有对任意
，
，都有
恒成立，所以数列，为“友好数列”；
（2）因为数列，为“友好数列”，所以对任意，，都有
恒成立，
因此有
，得：
，
若数列是等差数列，则有
，已知数列是正整数数列，因此有
，因此数列是等比数列；
若数列是等比数列，设公比为
，则有
，显然只有当
时，数列是等差数列，因此由数列是等差数列能推出数列是等比数列，但由数列是等比数列不一定能推出数列是等差数列，因此“数列是等差数列”是“数列是等比数列”的充分不必要条件.
【题目】某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了20位家长的满意度评分，其频数分布表如下：
满意度评分分组 |
|
|
|
|
| 合计 |
高一 | 1 | 3 | 6 | 6 | 4 | 20 |
高二 | 2 | 6 | 5 | 5 | 2 | 20 |
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 | 评分 | 70 | 评分 |
满意度等级 | 不满意 | 满意 | 非常满意 |
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取1名家长，记事件
：“高一家长的满意度等级高于高二家长的满意度等级”，则事件发生的概率为__________.
【题目】2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.
社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.
（1）求得分在
上的频率；
（2）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（3）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）
认为此项学习十分必要 | 认为此项学习不必要 | |
50岁以上 | 400 | 600 |
50岁及50岁以下 | 800 | 200 |
根据上述数据，计算是否有
的把握认为居民的学习态度与年龄相关.
附：
，其中
.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
