题目内容
【题目】已知点为抛物线
的焦点,
为抛物线
上三点,且点
在第一象限,直线
经过点
与抛物线
在点
处的切线平行,点
为
的中点.
(1)证明:与
轴平行;
(2)求面积
的最小值.
【答案】(1)见解析.
(2)16.
【解析】
(1)设出A,B,D三点坐标,根据kBD=y′列方程.根据根与系数的关系求出M的横坐标即可;
(2)求出直线BD的方程,求出AM和B到直线AM的距离,则S△ABD=2S△ABM,求出S关于xA的函数,利用基本不等式求出函数的最小值.
(1)证明:设,
.
由得
,又
,所以
,即
,
故与
轴平行.
(2)法一:由共线可得
,
所以,
因,所以
,即
.
直线的方程为
,
所以.
由(1)得,
当且仅当,即
时等号成立,故
的最小值为16.
法二:直线的方程为
,
.
得,
则.
设直线,代入
得
,
则,故
时等号成立).
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