Question

(本小题满分15分)
已知函数，。
（Ⅰ）求在区间的最小值；
（Ⅱ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立；
（Ⅲ）求证：若，则不等式≥对于任意的恒成立。

Answer 1

解(Ⅰ): ………………………………………1分
①若
∵，则，∴，即。
∴在区间是增函数，故在区间的最小值是。……3分
②若
令，得.
又当时，；当时，，
∴在区间的最小值是………………………………5分
综上，当时，在区间的最小值是，当时，在区间的最小值是。……………………………………………6分
（Ⅱ）证明:当时，，则，7分
∴,
当时，有，∴在内是增函数，
∴，
∴在内是增函数，
∴对于任意的，恒成立。…………………………………10分
(Ⅲ)证明: 
,
令
则当时,≥
,……………………………………………12分
令,则,
当时, ；当时，；当时，，
则在是减函数，在是增函数，
∴，∴，
∴，即不等式≥对于任意的恒成立。……………15分

略