Question

已知正三棱柱ABC-A′B′C′的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，射线OA旋转所成的角为x弧度（x可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为S（x），则函数S（x）的最大值为

8

；最小正周期为

π

3

．
说明：“三棱柱绕直线OO′旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角．

Answer 1

分析：由题意判断俯视图的图形的形状，推出最大值时的位置，即可求解结果．

解答：解：由题意可知，正三棱柱的底面三角形的高为

3

，正三角形的边长为2，
俯视图是矩形，当此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图，底面正三角形的边在俯视图中为矩形的边长时，俯视图的面积最大，令俯视图的面积为S，则S的最大值为：2×4=8．
因为正三角形的内角均为60°，所以函数S（x）的最小正周期为

π

3

故答案为：8，

π

3

．

点评：本题考查三视图与直观图的关系，解题的关键是判断俯视图的图形的形状，推出最大值时的位置．