Question

13．如图，已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1，C为$\widehat{AB}$中点，点D，E分别在半径OA，OB上若CD²+CE²+DE²=$\frac{5}{2}$，则OD+OE的取值范围是$[\frac{1+\sqrt{5}}{4}，\frac{2+\sqrt{14}}{5}]$．

Answer 1

分析 如图所示，连接OC．在△COD与△COE、△ODE中，由余弦定理可得：CD²=OD²+1-2ODcos60°=OD²+1-OD，CE²=OE²+1-2OEcos60°=OE²+1-OE．DE²=OD²+OE²-2OD•OEcos120°=OD²+OE²+OD•OE，利用CD²+CE²+DE²=$\frac{5}{2}$，可得$\frac{5}{2}$=2（OD+OE）²-（OD+OE）-3OD•OE+2，利用0≤$OD•OE≤\frac{（OD+OE）^{2}}{4}$，化简解出即可．

解答 解：如图所示，连接OC．
∵C为$\widehat{AB}$中点，圆心角为120°的扇形AOB，
∴∠COD=∠COE=60°．
在△COD与△COE中，
由余弦定理可得：CD²=OD²+1-2ODcos60°=OD²+1-OD，
CE²=OE²+1-2OEcos60°=OE²+1-OE．
DE²=OD²+OE²-2OD•OEcos120°=OD²+OE²+OD•OE
∵CD²+CE²+DE²=$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{5}{2}$=2OD²-OD+2OE²-OE+2+OD•OE=2（OD+OE）²-（OD+OE）-3OD•OE+2，
∵0≤$OD•OE≤\frac{（OD+OE）^{2}}{4}$，
设OD+OE=x，
化为$\frac{1}{2}≤$2x²-x$≤\frac{1}{2}+\frac{3{x}^{2}}{4}$，
解得$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$≤$x≤\frac{2+\sqrt{14}}{5}$．
∴OD+OE的取值范围是$[\frac{1+\sqrt{5}}{4}，\frac{2+\sqrt{14}}{5}]$．
故答案为：$[\frac{1+\sqrt{5}}{4}，\frac{2+\sqrt{14}}{5}]$．．

点评 本题考查了余弦定理的应用、基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．