题目内容

8.如图AB是半圆的直径,C是圆上一点,CH⊥AB于点H,CD是圆的切线,F是AC上一点,DF=DC,延长DF交AB于E.
(Ⅰ)求证:DE∥CH;
(Ⅱ)求证:AD2-DF2=AE•AB.

分析 (Ⅰ)连结BC,证明△ACH∽△ABC,∠ACH=∠DFC,可得DE∥CH;
(Ⅱ)设AD与半圆交于点M,连结BM,证明△AED∽△AMB,可得AE•AB=DA•AM,即可证明AD2-DF2=AE•AB.

解答 证明:(Ⅰ)连结BC,
∵CD是圆的切线,AC是弦,
∴∠DCF=∠CBA
∵DF=DC,∴∠DCF=∠DFC,∴∠DFC=∠CBA,
又∵CH⊥AB,∠ACB=90°,∴△ACH∽△ABC,
∴∠ACH=∠CBA,∴∠ACH=∠DFC,∴DE∥CH;…(5分)
(Ⅱ)设AD与半圆交于点M,连结BM,
∵CD是圆的切线,∴DC2=DA•DM,
又∵DE⊥AB,∠AMB=90°,∴△AED∽△AMB,
AEDA=AMAB,∴AE•AB=DA•AM,
∴DA2-DF2=DA2-DC2=DA2-DA•DM=DA•(DA-DM)=DA•AM=AE•AB.…(10分)

点评 本题考查与圆相关的比例线段,考查学生分析解决问题的能力.实际应用中,见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理;见到两条割线要想到割线定理;见到切线和割线要想到切割线定理.

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