题目内容
【题目】如图1，在边长为2的正方形
中， 
是边
的中点．将
沿
折起使得平面
平面
，如图2， 
是折叠后
的中点．
（Ⅰ）求证： 
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）取
中点
，根据平行四边形性质可得
，再根据线面平行判定定理得
平面
；（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间相等或互补关系求解.
试题解析：（Ⅰ） 证明：取
中点
，连结
，
∵
为
中点，∴ 
， 
，
∴
，
∴四边形
是平行四边形
∴
，又
平面
， 
平面
，
∴
平面
（Ⅱ）如图示以
为坐标原点，
建立空间直角坐标系
则由已知得
，
， 
设平面
的法向量为
则
解得一个法向量为
设平面
的法向量为
则
解得一个法向量为
∵
， 
，
∴二面角
的平面角的余弦值
．
【题目】近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月
、
两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了
人，发现样本中、两种支付方式都不使用的有
人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：
支付金额（元） 支付方式 |
|
| 大于 |
仅使用 |
|
|
|
仅使用 |
|
|
|
（1）从样本仅使用和仅使用的学生中各随机抽取
人，以
表示这
人中上个月支付金额大于
元的人数，求的分布列和数学期望；
（2）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用的学生中，随机抽查
人，发现他们本月的支付金额都大于
元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由.
【题目】为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中，参考的文科生与理科生人数之比为
，且成绩分布在
的范围内，规定分数在50以上（含50）的作文被评为“优秀作文”，按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示.其中
构成以2为公比的等比数列.
（1）求的值；
（2）填写下面
列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关？
文科生 | 理科生 | 合计 | |
获奖 | 6 | ||
不获奖 | |||
合计 | 400 |
（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为
，求的分布列及数学期望.
附：
，其中
.
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
