题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ)证明:曲线与曲线
有唯一公共点.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:先求出其反函数,利用导数得出切线的斜率即可
法一:等价函数
零点的个数,由
,求导
,再次求导
,判定出单调性,
在
上是单调递增故
在
上有唯一的零点 法二:等价于曲线
与
的公共点的个数,当
时,两曲线有公共点,求导得函数单调性进行判定
解析:(Ⅰ)的反函数为
,设所求切线的斜率为k.
∵,∴
,于是在点(1,0)处的切线方程为
(Ⅱ)证法一:曲线
与曲线
公共点的个数等于函数
零点的个数
∵,∴
存在零点
…
又,令
,则
.
当时,
,∴
在
上单调递减;
当时,
,∴
在
上单调递增,
∴在
处有唯一的极小值
即在
上的最小值为
.
∴(当且仅当
时等号成立),
∴在
上是单调递增的,∴
在
上有唯一的零点,
故曲线与曲线
有唯一公共点
证法二:∵,
,
∴曲线与曲线
公共点的个数等于曲线
与
的公共点的个数
设,则
,即当
时,两曲线有公共点.
又(当且仅当
时等号成立),∴
在
上单调递减,∴
与
有唯一的公共点,
故曲线与曲线
有唯一公共点
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