题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为
、
,过
的直线交椭圆于
两点.
(1)若以为直径的圆内切于圆
,求椭圆的长轴长;
(2)当时,问在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?并说明理由.
【答案】(1) 椭圆长轴长为6 (2) 在轴存在定点
,使得
为定值
【解析】试题分析:(1)根据图形的几何特点得到,两个圆相内切时,两个圆的圆心距等于两个圆的半径,
,进而得到参数值a=3;(2)联立直线和椭圆得到二次方程,根据韦达定理得到
,进而得到参数值.
解析:
(1)设的中点为
,在三角形
中,由中位线得:
.
当两个圆相内切时,两个圆的圆心距等于两个圆的半径,即,
所以,椭圆长轴长为6.
(2)由已知,
,
,所以椭圆方程为
.
当直线斜率存在时,设直线
方程为
.
设,
,
由,得
,
∴恒成立.
∴,
,
,
设,
,
当即
时
为定值
当直线斜率不存在时,不妨设
,
,
当时
,为定值.
综上:在轴存在定点
,使得
为定值
.
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【题目】2017年6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调查,其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下:
地铁站 | 世界之窗 | 白石州 | 高新园 | 深大 | 桃园 | 大新 |
满意度得分 | 70 | 76 | 72 | 70 | 72 | x |
已知6个站的平均得分为75分.
(1)求大新站的满意度得分x,及这6个站满意度得分的标准差;
(2)从表中前5个站中,随机地选2个站,求恰有1个站得分在区间(68,75)中的概率.
【题目】从某工厂的一个车间抽取某种产品50件,产品尺寸(单位:)落在各个小组的频数分布如下表:
数据分组 | |||||||
频数 | 3 | 8 | 9 | 12 | 10 | 5 | 3 |
(1)根据频数分布表,求该产品尺寸落在的概率;
(2)求这50件产品尺寸的样本平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)根据频数分布对应的直方图,可以认为这种产品尺寸服从正态分布
,其中
近似为样本平均值
,
近似为样本方差
,经计算得
.利用该正态分布,求
.
附:(1)若随机变量服从正态分布
,则
,
;
(2).