Question

3．若tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{10}{3}$，2α∈（$\frac{π}{2}$，π），求sin（2α+$\frac{π}{4}$）．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin2α、cos2α的值，再利用两角和的余弦公式求得sin（2α+$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵tanα+$\frac{1}{tanα}$=$\frac{sinα}{cosα}$+$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{1}{sinαcosα}$=$\frac{2}{sin2α}$=$\frac{10}{3}$，∴sin2α=$\frac{3}{5}$．
再根据 2α∈（$\frac{π}{2}$，π），可得cos2α=-$\frac{4}{5}$，故sin（2α+$\frac{π}{4}$）=sin2αcos$\frac{π}{4}$+cos2α sin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的余弦公式的应用，属于基础题．