题目内容
2.已知数列{an}的通项公式an=$\frac{n+1}{4{n}^{2}(n+2)^{2}}$,求它的前n项和Sn.分析 由an=$\frac{n+1}{4{n}^{2}(n+2)^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}$],利用裂项求和法能求出数列{an}的前n项和.
解答 解:∵an=$\frac{n+1}{4{n}^{2}(n+2)^{2}}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}$],
∴数列{an}的前n项和:
Sn=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{1}-\frac{1}{9}+\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{9}-\frac{1}{25}$+$\frac{1}{16}-\frac{1}{36}$+…+$\frac{1}{(n-3)^{2}}-\frac{1}{(n-1)^{2}}+\frac{1}{(n-2)^{2}}-\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{(n-1)^{2}}-\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}$]
=$\frac{1}{4}$[1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{(n+1)^{2}}$-$\frac{1}{(n+2)^{2}}$]
=$\frac{1}{4}[\frac{5}{4}-$$\frac{1}{(n+1)^{2}}-\frac{1}{(n+2)^{2}}]$.
点评 本题考查数列的前n项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的性质的合理运用.
练习册系列答案
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A. | (-∞,e) | B. | (-∞,$\frac{1}{e}$) | C. | ($\frac{1}{e}$,e) | D. | (-$\frac{1}{e}$,e) |