Question

4．已知数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1）．
（1）求证：数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列；
（2）设S_n=$\frac{1}{{a}_{2}-2}$+$\frac{1}{{a}_{3}-3}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-n}$．若a₂=6，且nS_n＜a_n-1-n²+k对一切n≥2的自然数恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{1}{n-1}$，令b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n-1）n}$，推导出b_n+1=b₂+$\frac{1}{n}$-1，由此能证明数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列．
（2）令n=1，得a₁=1，从而得到${a}_{n}=2{n}^{2}-n$，$\frac{1}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，由此利用裂项求和法推导出S_n=$\frac{n-1}{2n}$，从而由已知条件得到2n²-11n+7+2k=2（n-$\frac{11}{2}$）²+2k-$\frac{9}{16}$＞0对一切n≥2的自然数恒成立，由此能求出实数k的取值范围．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n-1}$-$\frac{1}{n-1}$
两边同除以n得$\frac{{a}_{n+1}}{n（n+1）}$=$\frac{{a}_{n}}{（n-1）n}$-$\frac{1}{n（n-1）}$，
令b_n=$\frac{{a}_{n}}{（n-1）n}$，则b_n+1=b_n-$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$，
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n-1}$，
∴b_n-b_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n-2}$，b_n-1-b_n-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-3}$，…，b₃-b₂=$\frac{1}{2}$-1，
采用累加法得到b_n+1=b₂+$\frac{1}{n}$-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=（n-1）b_n=（n-1）（b₂+$\frac{1}{n-1}$-1）=（n-1）b₂+1-（n-1），
$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=nb_n+1=n（b₂+$\frac{1}{n}$-1）=nb₂+1-n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{a}_{n}}{n}$=b₂-1，为常数，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是等差数列；
（2）解：∵（n-1）a_n+1=（n+1）（a_n-1），a₂=6，
令n=1，得2（a₁-1）=0，解得a₁=1，
∴$\frac{{a}_{1}}{1}=1，\frac{{a}_{2}}{2}=3$，∴$\frac{{a}_{n}}{n}=1+2（n-1）=2n-1$，
∴${a}_{n}=2{n}^{2}-n$，$\frac{1}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{2}-2}$+$\frac{1}{{a}_{3}-3}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-n}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{n}）$=$\frac{n-1}{2n}$，
∵nS_n＜a_n-1-n²+k对一切n≥2的自然数恒成立，
∴$\frac{n-1}{2}＜2（n-1）^{2}-（n-1）-{n}^{2}+k$对一切n≥2的自然数恒成立，
∴2n²-11n+7+2k=2（n-$\frac{11}{4}$）²+2k-$\frac{9}{16}$＞0对一切n≥2的自然数恒成立，
∴2k-$\frac{9}{16}$＞0，解得k＞$\frac{9}{32}$．
∴实数k的取值范围是（$\frac{9}{32}$，+∞）．

点评 本题考查了分类讨论、等差数列与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．