题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,比较
与1的大小;
(2)当时,如果函数
仅有一个零点,求实数
的取值范围;
(3)求证:对于一切正整数,都有
.
【答案】(1)当时,
,当
时,
,当
时,
;(2)
或
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析: (1)当时,
,其定义域为
,令
在
上是增函数
故当
时,
;当
时,
;当
时,
;(2)当
时
,其定义域为
,令
当
或
时,
;当
时,
函数
在
上递增,在
上递减,在
上递增
的极大值为
,极小值为
,又当
时,
;当
时,
,
或
;(3)根据(1)的结论知当
时,
即当
时,
,令
所以.
试题解析: (1)当时,
,其定义域为
,因为
,所以
在
上是增函数,
故当时,
;当
时,
;
当时,
(2)当时,
,其定义域为
,
,令
得
,
因为当或
时,
;当
时,
,
所以函数在
上递增,在
上递减,在
上递增且
的极大值为
,极小值为
,又当
时,
;当
时,
,
因为函数仅有一个零点,所以函数
的图象与直线
仅有一个交点.所以
或
;
(3)根据(1)的结论知当时,
.
即当时,
,即
令
,则有
,
从而得,
故得,
即,
所以.
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