Question

【题目】如图，设椭圆： 的离心率为， 分别为椭圆的左、右顶点， 为右焦点，直线与的交点到轴的距离为，过点作轴的垂线， 为上异于点的一点，以为直径作圆.

（1）求的方程；

（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合题意可求得， ，则的方程为.

(2)由题意可得，直线与圆相切时，直线的斜率为，结合(1)中求得的椭圆方程即可证得题中的结论.

试题解析：

（1）解：由题可知， ，∴， ，

设椭圆的方程为，

由，得，∴， ， ，

故的方程为.

（2）证明：由（1）可得： ，设圆的圆心为，则，

圆的半径为，

直线的方程为.

设过与圆相切的直线方程为，

则，整理得： ，

由，得，

又∵，

∴直线与圆相切.