题目内容
【题目】已知二次函数f（x）=ax2+2x+c（a≠0），函数f（x）对于任意的都满足条件f（1+x）=f（1﹣x）．
（1）若函数f（x）的图象与y轴交于点（0，2），求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上有零点，求实数c的取值范围．
【答案】
（1）解：函数f（x）对于任意的都满足条件f（1+x）=f（1﹣x），
∴函数f（x）的对称轴为x=1，
∴﹣ 
=1，
解得a=﹣1，
∵函数f（x）的图象与y轴交于点（0，2），
∴c=2，
∴f（x）=﹣x2+2x+2
（2）解：∵函数f（x）在区间（0，1）上有零点，
∴f（0）f（1）＜0，
∴c（﹣1+2+c）＜0，
解得﹣1＜c＜0
【解析】（1）函数f（x）对于任意的都满足条件f（1+x）=f（1﹣x），得到函数f（x）的对称轴为x=1，即可求出a的值，再根据函数f（x）的图象与y轴交于点（0，2），求出c的值，问题得以解决．（2）根据函数零点的性质结合二次函数的性质即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当
时，抛物线开口向上，函数在
上递减，在
上递增；当
时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．
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