题目内容
【题目】已知实数x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5
（1）求证不等式x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1
（2）随机变量X取值 
的概率均为 
，随机变量Y取值 
的概率也均为 ，比较DX与DY大小关系．
【答案】
（1）证明：∵0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
∴ 
+ 
＞2x1x2，
+ 
＞2x2x3，
+ 
＞2x3x4，
+ 
＞2x4x5，
+ ＞2x5x1，
∴2（ + + + + ）＞2x1x2+2x2x3+2x3x4+2x4x5+2x5x1，
∴x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1
（2）解：设 
= 
（x1+x2+…+x5）．
EX= 
+ 
+ 
+ 
= （x1+x2+…+x5）= ．
EY= 
+…+ 
= （x1+x2+…+x5）= ．
DX= 
+…+ 
，
DY= 
+ 
+…+ 
，
又∵实数x1，x2，x3，x4，x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
∴DX﹣DY= 
+ 
+…+ 
= × 
×[（x1﹣x2）（5x1+7x2）+（x2﹣x3）（5x2+7x3）+…+（x5﹣x1）（5x5+7x1）]
= 
×（x1x2+x2x3+…+x5x1﹣ 
﹣…﹣ 
=﹣ 
+…+ 
＜0，
∴DX＜DY
【解析】（1）0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5，利用基本不等式的性质可得 
+ 
＞2x1x2， + 
＞2x2x3，…， 
+ ＞2x5x1，相加即可得出．（2）设 
= 
（x1+x2+…+x5）．利用数学期望计算公式可得EX，EY．再利用方差计算公式可得DX，DY．作差即可比较出大小关系．
