题目内容
【题目】已知(
),
,其中
为自然对数的底数.
(1)若恒成立,求实数
的取值范围;
(2)若在(1)的条件下,当取最大值时,求证:
.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】试题分析:(1)恒成立问题的两种处理方法:法一:分类讨论:求导利用函数的单调性求解即可;法二:分离参数. 恒成立
在
上恒成立,令
求函数最值即可.
(2)要证
,先证明:
时,
,只需要证明
. 令
求导利用单调性即可证得.
试题解析:
(1)解:法一:分类讨论.因为,
①当时,
所以
,
故在
上单调递增,
所以,所以
②当时,令
,
若,
;若
,
,
所以在
上单减,在
上单增;
所以,
解得,此时
无解,
综上可得.
法二:分离参数. 恒成立
在
上恒成立.
令,则
所以在
上单增,
故,所以
(2)证明:由题意可知, .
要证
(*)
先证明: 时,
.
令.
当时,
,所以
在
上单减,
所以,所以
.
所以要证明(*)式成立,只需要证明(**) ……(8分)
令,则
,
,令
又在
上单调递增,则在
上,
,
在,
.
所以, 在
上单减,在
上单增,
所以,
所以在
上单调递增,所以
.
所以(**)成立,也即是(*)式成立.故
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