Question

【题目】已知函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0．
（1）判断f（x）的单调性，并加以证明；
（2）解不等式 ；
（3）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，证明如下

由题意，设x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2

则x1﹣x2＜0

∵x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0．

令x=x1，y=﹣x2，

∴f（x1）+f（﹣x2）＜0

∵函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调增

（2）解：由（1）知， ，解得：
（3）解：由于函数f（x）在[﹣1，1]上单调增，

∴函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1

∴f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立可转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立

∴ ，

解得m≥2或m≤﹣2或m=0

【解析】（1）设x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 则x1﹣x2＜0，利用x，y∈[﹣1，1]，x+y≠0有（x+y）[f（x）+f（y）]＞0，可得f（x1）+f（﹣x2）＜0，根据函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，即可得函数f（x）在[﹣1，1]上单调增；（2）由（1）知， ，解之即可；（3）先确定函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值为f（1）=1，将f（x）≤m2﹣2am+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立转化为：0≤m2﹣2am对所有a∈[﹣1，1]恒成立，从而可求实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．