题目内容

【题目】已知向量 ,且 ,f(x)= ﹣2λ| |(λ为常数), 求:
(1) 及| |;
(2)若f(x)的最小值是 ,求实数λ的值.

【答案】
(1)解:

∴cosx≥0,


(2)解:f(x)=cos2x﹣4λcosx=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2

∴0≤cosx≤1,

①当λ<0时,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值﹣1,这与已知矛盾;

②当0≤λ≤1,当且仅当cosx=λ时,f(x)取得最小值﹣1﹣2λ2

由已知得 ,解得

③当λ>1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值1﹣4λ,

由已知得 ,解得 ,这与λ>1相矛盾、

综上所述, 为所求


【解析】(1)根据所给的向量的坐标,写出两个向量的数量积,写出数量积的表示式,利用三角函数变换,把数量积整理成最简形式,再求两个向量和的模长,根据角的范围,写出两个向量的模长.(2)根据第一问做出的结果,写出函数的表达式,式子中带有字母系数λ,把式子整理成关于cosx的二次函数形式,结合λ的取值范围,写出函数式的最小值,是它的最小值等于已知量,得到λ的值,把不合题意的舍去.
【考点精析】掌握三角函数的最值是解答本题的根本,需要知道函数,当时,取得最小值为;当时,取得最大值为,则

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