题目内容
1．在数列{an}中，a1=2，3（an-1）（an-1-1）+an-an-1=0（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设数列bn=$\sqrt{{a}_{n}-1}$，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-1）．
分析 （1）由3（an-1）（an-1-1）+an-an-1=0（n≥2），变形为3（an-1）（an-1-1）+（an-1）-（an-1-1）=0，化为$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=3，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由bn=$\sqrt{\frac{1}{3n-2}}$＞$\frac{2}{\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n-2}}$＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}$），利用“裂项求和”与“放缩法”即可证明．
解答 （1）解：∵3（an-1）（an-1-1）+an-an-1=0（n≥2），
∴3（an-1）（an-1-1）+（an-1）-（an-1-1）=0，
化为$\frac{1}{{a}_{n}-1}-\frac{1}{{a}_{n-1}-1}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}-1}\}$是等差数列，首项为1，公差为3，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴an=$\frac{3n-1}{3n-2}$．
（2）证明：bn=$\sqrt{{a}_{n}-1}$=$\sqrt{\frac{1}{3n-2}}$＞$\frac{2}{\sqrt{3n+1}+\sqrt{3n-2}}$＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}$），
∴{bn}的前n项和为Tn=b1+b2+…+bn
＞$\frac{2}{3}$$[（\sqrt{4}-\sqrt{1}）+（\sqrt{7}-\sqrt{4}）+…+（\sqrt{3n+1}-\sqrt{3n-2}）]$
=$\frac{2}{3}$$（\sqrt{3n+1}-1）$．
∴Tn＞$\frac{2}{3}$（$\sqrt{3n+1}$-1）．
点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”与“放缩法”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
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