Question

6．如图，已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点．求证：$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$）．

Answer 1

分析 根据重心是三角形中线的交点及重心的性质即可得到：$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，而同理会得到$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，这样上面三个式子相加即可得出$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$．

解答 证明：重心是中线交点，再根据重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍得到：
$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{PA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{PA}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
同理，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}）$，$\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$；
三式相加得：$3\overrightarrow{PG}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$；
∴$\overrightarrow{PG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$．

点评 考查向量加法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，以及相反向量的概念，及向量的数乘运算，重心的定义及其性质．