题目内容
11．已知${（\frac{1}{2}+2x）^n}$的二项展开式中前三项的二项式系数和等于46．（1）求展开式中x5项的二项式系数．
（2）求展开式中系数最大的项．
分析 （1）根据二项式系数的公式尽快求展开式中x5项的二项式系数．
（2）求出展开式系数的通项公式，尽快求展开式中系数最大的项．
解答 解：由$C_n^0+C_n^1+C_n^2$=46，可得n=9，
（1）x5项的二项式系数为$C_9^5=126$（4分）
（2）设Tk+1顶的系数最大．
∵${（{\frac{1}{2}+2x}）^9}={（{\frac{1}{2}}）^9}{（{1+4x}）^9}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}C_9^k{4^k}≥C_9^{k-1}{4^{k-1}}\\ C_9^k{4^k}≥C_9^{k+1}{4^{k+1}}\end{array}\right.$，∴7≤k≤8即k=7或8，
故展开式中系数最大的项为T8 或T9，
${T_8}={（{\frac{1}{2}}）^9}•C_9^7•{4^7}•{x^7}=1152{x^7}$；${T_9}={（{\frac{1}{2}}）^9}•C_9^8•{4^8}•{x^8}=1152{x^8}$（6分）
点评 本题主要考查二项式定理的一样，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．
练习册系列答案
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