题目内容

【题目】如图,椭圆的左、右焦点分别为 轴,直线轴于点,为椭圆上的动点,的面积最大值为1.

(1)求椭圆的方程;

(2)如图,过点作两条直线与椭圆分别交于,且使轴,问四边形的两条对角线的交点是否为定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.

【答案】(1)(2)定点坐标为.

【解析】分析:(Ⅰ)意味着通径的一半最大面积为,所以,故椭圆的方程为.

(Ⅱ)根据对称性,猜测定点必定在轴上,故可设,则,再设,根据三点共线可以得到,联立直线和椭圆的标准方程后消去,利用韦达定理可以得到,从而过定点,同理直线也过即两条直线交于定点.

详解:(Ⅰ)设,由题意可得,即.

的中位线,且

,即,整理得.①

又由题知,当在椭圆的上顶点时,的面积最大,

,整理得,即,②

联立①②可得,变形得,解得,进而.

∴椭圆的方程式为.

(Ⅱ)设,则由对称性可知.

设直线轴交于点,直线的方程为

联立,消去,得

三点共线,即

代入整理得

,从而,化简得,解得,于是直线的方程为, 故直线过定点.同理可得过定点

∴直线的交点是定点,定点坐标为.

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