题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中,
,
,点
为棱
的中点,点
为线段
上一动点.
(Ⅰ)求证:当点为线段
的中点时,
平面
;
(Ⅱ)设,试问:是否存在实数
,使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
?若存在,求出这个实数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见解析;(2)或
【解析】试题分析:
(Ⅰ)连、
,由题意可证得
.又在
平面
,从而可得
平面
.(Ⅱ)由题意可建立空间直角坐标系
,结合条件可得
,从而可得平面
的法向量
,同理可得平面
的法向量
,根据
解得
或
,故存在实数满足条件.
试题解析:
(Ⅰ)证明:连、
,
∵点为线段
的中点,
∴、
、
三点共线.
∵点、
分别为
和
的中点,
∴.
在直三棱柱中,
,
∴平面
,
∴,
又,
∴四边形为正方形,
∴,
∵、
平面
,
∴平面
,
而,
∴平面
.
(Ⅱ)解:以为原点,分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系,
连接、
,设
,
∵,
∴,
∴,∴
.
∵点在线段
上运动,
∴平面的法向量即为平面
的法向量,
设平面的法向量为
,
由得
,令
得
,
设平面的法向量为
,
由得
,
令得
,取
,
由题意得|
,
∴,
解得或
.
∴当或
时,平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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