题目内容
11．设S=$\sqrt{1×2}$+$\sqrt{2×3}$+$\sqrt{3×4}$+…+$\sqrt{n（n+1）}$，求证：$\frac{1}{2}$n（n+1）＜S＜$\frac{1}{2}$n（n+2）分析 先证明左边，$\sqrt{n（n+1）}$＞n，再证明右边，由均值不等式，$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{n+n+1}{2}$=n+$\frac{1}{2}$，利用数列的求和公式，即可证明结论．
解答 证明：先证明左边，$\sqrt{n（n+1）}$＞n，所以S＞1+2+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
再证明右边，由均值不等式，$\sqrt{n（n+1）}$＜$\frac{n+n+1}{2}$=n+$\frac{1}{2}$，
所以S＜1+2+…+n+$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{2}$n（n+1）+$\frac{n}{2}$=$\frac{1}{2}$n（n+2），
所以$\frac{1}{2}$n（n+1）＜S＜$\frac{1}{2}$n（n+2）．
点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确放缩是关键．
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