Question

【题目】已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；

（2）若过且与直线垂直的直线与曲线相交于、两点，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的转化即可得直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;

(2)根据直线与直线垂直且过,可得直线的参数方程.将直线的参数方程与曲线联立,结合韦达定理及参数方程的几何意义即可求得.

(1)由直线极坐标方程为,即,

根据极坐标与直角坐标的互化公式,可得直线直角坐标方程：,

由曲线的参数方程为（为参数）,则,

整理得椭圆的普通方程为.

(2)由已知直线与垂直,所以直线的倾斜角为,

直线的参数方程为,即（为参数）,

把直线的参数方程代入

化简得

设,是上述方程的两个实根,则有

又直线过点

故由上式及的几何意义得