题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)对任意的,
,
,恒有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)对函数进行求导后得到,对
分情况进行讨论:
、
、
、
;
(2)由(1)知在
上单调递减,不妨设
,从而把不等式中的绝对值去掉得:
,进而构造函数
,把问题转化为恒成立问题,求得实数
的取值范围。
(1),
当时,
,所以
在
上单调递增;
当时,
或
,
,所以
在
,
上单调递增;
,
,所以
在
上单调递减.
当时,
或
,
,所以
在
,
上单调递增;
,
,所以
在
上单调递减.
当时,
,
,所以
在
上单调递减;
,
,所以
在
上单调递增.
(2)因为,由(1)得,
在
上单调递减,不妨设
,
由得
,
即.
令,
,只需
恒成立,
即恒成立,
即,
即.因为
(当且仅当
时取等号),
所以实数的取值范围是
.

练习册系列答案
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月数 | … | ||||
污染度 | … |
污染度为后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式:
,
,
,其中
表示月数,
、
、
分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过.