题目内容
如图，已知椭圆C的方程为
＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．
(1)设P是椭圆C上任意一点，若
＝m
＋n
，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；
(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成的矩形的两个顶点．(1)设P是椭圆C上任意一点，若
＝m＋n，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
（1）见解析（2）△OMN的面积为定值1
(1)证明：易知A(2，1)，B(－2，1)．设P(x0，y0)，则
＋
＝1.由＝m＋n，得
所以
＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝
，故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．
(2)解：(解法1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
，平方得
＝16
＝(4－)(4－)，即＋＝4.因为直线MN的方程为(y1－y2)x－(x1－x2)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝
，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝
＝
＝
＝1，故△OMN的面积为定值1.
(解法2)设OM的方程为y＝kx(k>0)，则ON的方程为y＝－
x(k>0)．联立方程组
解得M
.同理可得N
因为点N到直线OM的距离为d＝
，OM＝
＝2
，所以△OMN的面积S＝d·OM＝
＝1，故△OMN的面积为定值．
＋＝1.由＝m＋n，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝，故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上．(2)解：(解法1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
，平方得＝16＝(4－)(4－)，即＋＝4.因为直线MN的方程为(y1－y2)x－(x1－x2)y＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1，故△OMN的面积为定值1.(解法2)设OM的方程为y＝kx(k>0)，则ON的方程为y＝－
x(k>0)．联立方程组解得M.同理可得N因为点N到直线OM的距离为d＝
，OM＝＝2，所以△OMN的面积S＝d·OM＝＝1，故△OMN的面积为定值．
练习册系列答案
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的方程为
，离心率为
，且短轴一端点和两焦点构成的三角形面积为1，抛物线
的方程为
，抛物线的焦点F与椭圆的一个顶点重合.
的值.
交椭圆
(O为原点)，若点S满足
，判定点S是否在椭圆
的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，该椭圆的离心率为
，
的面积为
.
交椭圆于P、Q两点，
，求直线
＝1(a＞b＞0)的离心率为
，且过点A(0，1)．
.
＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝
.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.
＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足
＋
≤1，则PF1＋PF2的取值范围为________．
＝1(a>b>0)的离心率为
，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A、B两点．若
＝3
，则k＝________．
分别是椭圆的左，右焦点，现以
为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点
，若过
的直线
是圆
.