题目内容
【题目】已知等腰三角形
，
，
，
、
分别为
，
的中点，将
沿
折到
的位置，
，取线段
的中点为
.
（1）求证：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
.
【解析】分析：(1)取
中点
，连接
，
，由三角形中位线定理，结合
、
分别为
，
的中点可得四边形
为平行四边形，
，由线面平行的判定定理可得结果；（2）以
为
轴建立空间直角坐标系
，分别利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面
与平面
的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得二面角
的余弦值.
详解：(1)证明：取中点，连接 ，
∵
，
∴
又∵
∴
四边形为平行四边形
∴
∵
面
，
面
∴
面
∵面
面
，面
面
∵
，
面
∴
面
∵
，
面
∴
，
又∵
∴
，
，
两两互相垂直
（2）如图所示,分别以为 轴建立空间直角坐标系
则
设平面,平面的法向量分别为
则
取
取
二面角的平面角的余弦值为
.
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上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
