题目内容
【题目】设
，其中
，函数
在点
处的切线方程为
，其中
.
（1）求
和
并证明函数有且仅有一个零点；
（2）当
时，
恒成立，求最小的整数
的值.
【答案】（1）
，证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）求出函数的导函数，根据函数
在点
处的切线方程为
，可得
，
即可求得
的值，在根据函数的单调性以及特殊点的函数值，可判断函数只有一个零点.
（2）当
时，
，由此
；猜想
的最小值为
，再证明
，在
时恒成立，即可求得.
解：（1）
所以定义域为
，
又因为函数在点处的切线方程为
所以
当时，
，即
，解得
，函数
在上单调递减
由于
，
，则函数有且仅有一个零点．
（2）一方面，当时，，由此；
所以猜想的最小值为，
下证：当时，，在时恒成立，
记函数
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减
；
记函数
，
，
在
上单调减，在
上单调减
，即
；
，成立
又因为
和
不能同时在同一处取到最大值，
所以当时，
恒成立
所以最小整数．
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