题目内容
【题目】已知函数.
(1)讨论的导数
的单调性;
(2)若有两个极值点
,
,求实数
的取值范围,并证明
.
【答案】(1)在
上单调递减,
在
上单调递增;
(2)见解析.
【解析】
(1)求出,令
,对
,
讨论来求
的单调性;
(2)将有两个极值点
,
转化为
有两解,继续转化为
有两解,构造函数
,求导
为其极小值,可得
,即可求得实数
的取值范围;另外要证明
,不妨设
,则
,由(1)根据
的单调性得
,通过变形,转化为证明
,进一步变形证明
,构造函数
,利用导数研究其最小值即可证明.
(1)由题意,得.
设,则
.
①当时,
,所以
在
上单调递增.
②当时,由
,得
.
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增.
(2)由于有两个极值点
,
,即
在
上有两解
,
,
即
,显然
,故等价于
有两解
,
,
设,则
,
当时,
,所以
在
单调递减,
且,
时,
,
时,
;
当时,
,所以
在
单调递减,且
时,
;
当时,
,所以
在
单调递增,且
时,
,
所以是
的极小值,
有两解
,
等价于
,得
.
不妨设,则
.
据(1)在
上单调递减,在
上单调递增,
故,
由于,
,且
,则
,
所以,
,
即,
,
欲证明:,等价于证明:
,
即证明:,只要证明:
,
因为在
上单调递减,
,
所以只要证明:,
由于,所以只要证明:
,
即证明:,
设,据(1)
,
,
所以在
上单调递增,
所以,
即,
故.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从
到
),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
,试证明
是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,
.