题目内容
【题目】已知函数 F (x) = e x 满足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数．
（1）求函数 h(x)的反函数；
（2）已知(x) = g(x 1)，若函数(x)在 [1,3]上满足(2 a+1) 
，求实数 a 的取值范围；
（3）若对于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）由题意可得：
，
，联立解得：
，
．由
，化为：
，
，解得
．可得
．
（2）
，函数
在
，
上满足
，转化为：函数在
，
上满足：
，由于函数在
，
上单调递增，且函数为偶函数，可得
，
，
，解得
范围．
（3）不等式
，即
，令
，由
，，可得
，
，不等式转化为：
，
，利用基本不等式的性质即可得出．
解：（1）由题意可得：，，
联立解得：
，
．
由，化为：，，解得．
．
（2），函数在，上满足，
转化为：函数在，上满足：，
由于函数在，上单调递增，且函数为偶函数，
，
，，解得
．
（3）不等式，即，
令，由，，可得，，
不等式转化为：，
，
，当且仅当
时取等号．
．
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