Question

【题目】在四棱锥中，与相交于点，点在线段上，．

（1）求证：平面；

（2）若，求点到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）根据平行线等分线段可得，再根据线面平行的判定定理即可证明；

（2）由题意可得为等边三角形，则由勾股定理可得且，则，

（方法一）从而平面平面，作于，可证得即为到平面的距离，由此可求出答案．

（方法二）设点到平面的距离为，由三棱锥的体积公式可得，即，代入数据即可求出答案．

（1）证：，

，，

又，

，

，

又平面，平面，

平面；

（2）解：（方法一）∵，

∴为等边三角形，

∴，

又∵，，

∴，且，

∴且，

又∵，

∴

∵平面，

∴平面平面，

作于，

∵平面平面，

∴平面，

又∵平面，

∴即为到平面的距离，

在中，设边上的高为，则，

∵，

∴，即到平面的距离为．

（方法二）∵，

∴为等边三角形，

∴，

又∵，，

∴，且，

∴且，

又∵，

∴平面 ．

设点到平面的距离为，由得，

∴，即．

∵，，，

∴，

∴，即到平面的距离为．