题目内容
【题目】在四棱锥
中，
是等边三角形，点
在棱
上，平面
平面
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
(1) 取
中点为
，连接
，首先证明
平面
，然后证明
平面
即可
(2)建立空间直角坐标系，求出平面
的法向量，利用向量数量积求得线面角，最后根据二次函数性质求最值.
(1)证明：取中点为，连接.
因为
是等边三角形，所以
.
因为平面
平面且相交于，所以平面，所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以平面.
因为
平面
，所以平面
平面.
（2）以为原点，过作
的平行线
，分别以
，，
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
.
因为
在棱
上，可设
，
所以
.
设平面的法向量为
，因为
，
所以
令
，可得
，即
.
设直线
与平面所成角为
，
所以
.
所以可得当
时，
取最大值；
【题目】2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同．各地学校开展各式各样的线上教学，某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对100名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢国学 | 不喜欢国学 | 合计 | |
男生 | 20 | 50 | |
女生 | 10 | ||
合计 | 100 |
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为
，求的分布列和数学期望．
参考数据：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，
．
