题目内容
【题目】在四棱锥中,
是等边三角形,点
在棱
上,平面
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若,求直线
与平面
所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1) 取中点为
,连接
,首先证明
平面
,然后证明
平面
即可
(2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用向量数量积求得线面角,最后根据二次函数性质求最值.
(1)证明:取中点为
,连接
.
因为是等边三角形,所以
.
因为平面平面
且相交于
,所以
平面
,所以
.
因为,所以
.
因为,所以
平面
.
因为平面
,所以平面
平面
.
(2)以为原点,过
作
的平行线
,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系.
设,则
,
,
,
.
因为在棱
上,可设
,
所以.
设平面的法向量为
,因为
,
所以令
,可得
,即
.
设直线与平面
所成角为
,
所以.
所以可得当时,
取最大值
;
【题目】2020年新年伊始,新型冠状病毒来势汹汹,疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校,教育部就此提出了线上教学和远程教学,停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学,某地学校为了加强学生爱国教育,拟开设国学课,为了了解学生喜欢国学是否与性别有关,该学校对100名学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
喜欢国学 | 不喜欢国学 | 合计 | |
男生 | 20 | 50 | |
女生 | 10 | ||
合计 | 100 |
(1)请将上述列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系?
(2)针对问卷调查的100名学生,学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中女生人数为,求
的分布列和数学期望.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,
.