Question

【题目】在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1) 取中点为，连接，首先证明平面，然后证明平面即可

(2)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积求得线面角，最后根据二次函数性质求最值.

(1)证明：取中点为，连接.

因为是等边三角形，所以.

因为平面平面且相交于，所以平面，所以.

因为，所以.

因为，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

（2）以为原点，过作的平行线，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设，则，，，.

因为在棱上，可设，

所以.

设平面的法向量为，因为，

所以令，可得，即.

设直线与平面所成角为，

所以.

所以可得当时，取最大值；