Question

8．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，求证：AB₁∥平面DBC₁．

Answer 1

分析 取A₁C₁的中点E，由已知条件推导出面AB₁E∥面BDC₁，由此能证明AB₁∥面DBC₁．

解答 证明：取A₁C₁的中点E，连结DE，AE，B₁E，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是AC的中点，
∴BB₁$\underset{∥}{=}$DE，AD$\underset{∥}{=}$EC₁，
∴四边形BB₁ED是平行四边形，四边形AEC₁D是平行四边形，
∴BD∥B₁E，AE∥DC₁，又∵AE∩B₁E=E，BD∩C₁D=D，
∴面AB₁E∥面BDC₁，
又∵AB₁?面AB₁E，∴AB₁∥面DBC₁．

点评 本题考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．