Question

【题目】在正三棱锥中，平面，底面边长，则正三棱锥的外接球的表面积为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

由正棱锥的性质和平面可以推得两两互相垂直，由此可将正三棱锥补成一个正方体，并且正方体的外接球就是正三棱锥的外接球，通过求正方体的外接球的表面积，也就求出正三棱的外接球的表面积.

在正三棱锥中，取中点,连接，则,因为平面，又面，，

设，因为底面边长，所以，

，

所以，即，解得，即，

所以在中有，所以是，即

又因为平面，所以，所以两两互相垂直，

所以将正三棱锥补为一个正方体，如下图1所示，

正三棱锥的外接球，就是这个正方体的外接球，且正方体的棱长为2，

由下图2可以看出，正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长，

设外接球的半径为R，则，解得，所以球的表面积，

故填：.