题目内容
【题目】已知椭圆 C: 的焦距为2,且过点
,右焦点为
.设A,B 是C上的两个动点,线段 AB 的中点M 的横坐标为
,线段AB的中垂线交椭圆C于P,Q 两点.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设M点纵坐标为m,求直线PQ的方程,并求的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)利用椭圆C:(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,
),建立方程组,求出a,b,即可求椭圆C的方程;
(2)分类讨论,求出直线PQ的方程,与椭圆方程联立,结合向量的数量积,在椭圆的内部,利用换元法,即可求
的取值范围.
(1) 因为椭圆 的焦距为
,且过点K
,所以
,
,所以
,于是
,
,所以椭圆
的方程为
.
(2) 由题意,当直线 垂直于
轴时,直线
方程为
,此时
,
,得
.
当直线 不垂直于
轴时,设直线
的斜率为
,
,
,
,由线段
的中点
的横坐标为
,得
,则
,故
.此时,直线
斜率为
,
的直线方程为
,即
.联立
消去
,整理得
.设
,
,所以
,
,
于是
由于 在椭圆的内部,故
,令
,
,
则 .又
,所以
.综上,
的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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