Question

13．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（　　）

• A． y=${3^{\frac{1}{x+1}}}$
• B． y=${2^{-\frac{x}{2}}}$
• C． y=x²+x+1
• D． y=$\sqrt{1-{2}^{x}}$

Answer 1

分析 可看出$\frac{1}{x+1}≠0$，从而${3}^{\frac{1}{x+1}}≠1$，从而判断A错误；显然${2}^{-\frac{x}{2}}＞0$，从而判断选析B的函数值域为（0，+∞），这便得出B正确；C中的函数为二次函数，配方便可求其值域；根据指数函数的值域容易得出0≤1-2^x＜1，从而可求出D中函数的值域．

解答 解：A.$\frac{1}{x+1}≠0$，∴${3}^{\frac{1}{x+1}}≠1$，即该函数的值域不是（0，+∞）；
B.$-\frac{x}{2}∈R$，∴${2}^{-\frac{x}{2}}＞0$，∴该函数值域为（0，+∞），即该选项正确；
C.$y={x}^{2}+x+1=（x+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$，∴该函数的值域不为（0，+∞）；
D.2^x＞0，1-2^x＜1；
∴0≤1-2^x＜1；
∴$0≤\sqrt{1-{2}^{x}}＜1$，∴该函数的值域不为（0，+∞）．
故选B．

点评 考查函数值域的概念，反比例函数的值域，一次函数的值域，以及指数函数的值域，配方法求二次函数的值域，根据不等式的性质求函数的值域．