题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,点
是椭圆上任意一点,
的最小值为
,且该椭圆的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆
上不同的两点,且
,若
,试问直线
是否经过一个定点?若经过定点,求出该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.
【答案】(1)(2)直线
过定点
【解析】
(1)依题意得到方程组解得;
(2)已知且
,可知点
同在
轴的上方或下方,
由对称性可知,若动直线经过一个定点,则该定点在
轴上,因为
,所以点
关于
轴的对称点
在直线
上,
设直线的方程为
,则直线
的方程为
,联立直线与椭圆方程,列出韦达定理,由直线
的斜率
,得直线
的方程为
,令
,计算其横坐标是否为定值.
解:(1)依题意得,解得
,所以椭圆
;
(2)直线过定点
,
证明:已知且
,可知点
同在
轴的上方或下方,
由对称性可知,若动直线经过一个定点,则该定点在
轴上,
因为,所以点
关于
轴的对称点
在直线
上,
设直线的方程为
,则直线
的方程为
,
联立,消去
整理得
又
,
所以,
由直线的斜率
,得直线
的方程为
,
令,得:
,
由,
所以
即,
所以直线过定点
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为研究女高中生身高与体重之间的关系,一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生,其身高和体重
数据如下表所示:
编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
身高 | 164 | 160 | 158 | 172 | 162 | 164 | 174 | 166 |
体重 | 60 | 46 | 43 | 48 | 48 | 50 | 61 | 52 |
该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现,女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.
(1)调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为,请你据此预报一名身高为
的女高中生的体重;
(2)调查员乙仔细观察散点图发现,这8名同学中,编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大,于是提出这样的数据应剔除,请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中,并据此预报一名身高为的女高中生的体重;
(3)请你分析一下,甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠?说明理由.
附:对于一组数据,其回归方程
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
.