题目内容
椭圆
+
=1上有n个不同的点P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，记an=|PnF|，若数列{an}是公差不小于
的等差数列，则n的最大值为 ．
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| 1 |
| 100 |
分析：先求出等差数列|PnF|的首项与末项，用含n的式子表示公差d，再根据数列|PnF|是公差不小于
的等差数列，求出n的范围，可得最大值．
| 1 |
| 100 |
解答：解：在椭圆
+
=1中，a=2，c=1
∵椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1，最大距离是a+c=3，
∵数列|PnF|是公差不小于
的等差数列，
∴P1F=a-c=1，PnF=a+c=3，
∴公差d=
=
=
又∵数列|PnF|是公差不小于等差数列．
∴d≥
，即
≥
，解得n≤201．
∴n的最大值为201
故答案为：201
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
∵椭圆上点到右焦点的最小距离是a-c=1，最大距离是a+c=3，
∵数列|PnF|是公差不小于
| 1 |
| 100 |
∴P1F=a-c=1，PnF=a+c=3，
∴公差d=
| PnF-P1F |
| n-1 |
| 3-1 |
| n-1 |
| 2 |
| n-1 |
又∵数列|PnF|是公差不小于等差数列．
∴d≥
| 1 |
| 100 |
| 2 |
| n-1 |
| 1 |
| 100 |
∴n的最大值为201
故答案为：201
点评：本题借助圆锥曲线的知识考查等差数列的通项公式，属中档题．
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