题目内容
【题目】已知数集(
,
)具有性质
:对任意
、
(
),
与
两数中至少有一个属于集合
,现给出以下四个命题:①数集
具有性质
;②数集
具有性质
;③若数集
具有性质
,则
;④若数集
(
)具有性质
,则
;其中真命题有________(填写序号)
【答案】②③④
【解析】
利用ai+aj与aj-ai两数中至少有一个属于A.即可判断出结论.
①数集中,
,故数集
不具有性质
;
②数集满足对任意
、
(
),
与
两数中至少有一个属于集合
,故数集
具有性质
;
③若数列A具有性质P,则an+an=2an与an-an=0两数中至少有一个是该数列中的一项,
∵0≤a1<a2<…<an,n≥3,
而2an不是该数列中的项,∴0是该数列中的项,
∴a1=0;故③正确;
④当 n=5时,取j=5,当i≥2时,ai+a5>a5,
由A具有性质P,a5-ai∈A,又i=1时,a5-a1∈A,
∴a5-ai∈A,i=1,2,3,4,5
∵0=a1<a2<a3<a4<a5,∴a5-a1>a5-a2>a5-a3>a5-a4>a5-a5=0,
则a5-a1=a5,a5-a2=a4,a5-a3=a3,
从而可得a2+a4=a5,a5=2a3,故a2+a4=2a3,
即答案为②③④.
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