Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=1，则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的余弦值为 
（　　）

• A、

  6

  3

• B、

  2 5

  5

• C、

  15

  5

• D、

  10

  5

Answer 1

分析：连接A₁C₁交B₁D₁于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO₁⊥B₁D₁，由长方体的性质可证有OC₁⊥BB₁，且
由直线与平面垂直的判定定理可得OC₁⊥平面BB₁D₁D，则∠C₁BO为则BC₁与平面BB₁D₁D所成角
在Rt△BOC₁中，可求

解答：解：连接A₁C₁交B₁D₁于点O，连接BO
由AB=BC=2，可得A₁B₁C₁D₁为正方形即CO₁⊥B₁D₁
由长方体的性质可知BB₁⊥面A₁B₁C₁D₁，从而有OC₁⊥BB₁，且BB₁∩B₁D₁=B₁
∴OC₁⊥平面BB₁D₁D
则∠C₁BO为则BC₁与平面BB₁D₁D所成角
在Rt△BOC₁中，OC1=

2

，BC1=

5

  OB=

3

∴cos∠OBC1=

OB

BC1

=

3

5

=

15

5

故选C．

点评：本题以长方体为基本模型，考查了直线与平面所成角的秋季解，解决本题的关键是熟练根据长方体的性质求出已知面的垂线，进而找出线面角，然后在直角三角形中求解角．