题目内容
【题目】已知函数
，
，
.
（1）若曲线
在
处的切线与曲线
相切，求
的值；
（2）当
时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围；
（3）若函数
恰有2个不相等的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）先写出曲线
在
处的切线方程，再设切线与
相切的切点为
，
，
，
，可解出
．
（2）由题知任意
，
，
恒成立，
恒成立，可得出
，令
，，，只需小于
的最小值即可．
（3）
，
分五种情况当
，
，
，
，
时，讨论函数
单调性，分析的零点，进而得出的取值范围．
解：（1）
，
函数
的导数为
，
函数
在处的切线的斜率为
，
函数在处的切线的方程为
.
由函数在处的切线与函数
相切，
联立
，得
.
所以
，得.
（2）设函数
，
所以
.
①当
时，
，
，函数
在
上单调递增.
由题意
，
所以.
②当
时，当
时，
，函数在
上单调递减；
当
时，
，函数在
上单调递增.
由题意
，
即
.
又因为，不成立.
综上所述，的取值范围为.
（3）
.
①当时，若
，
，单调递增；
若
，
，单调递减；
若
，，单调递增.
所以的极大值为
，
所以函数的图象与
轴至多有一个交点.
④当
时，若
，，单调递减；
若，，单调递增.
所以
.
（1）当
，即
时，函数的图象与轴至多有一个交点.
（2）当
，即时，
.
令
，
，
，
，
，
所以当
时，
，
所以
，
所以存在
，
.
，
所以存在
，
.
（3）当时，
只有一个零点，
综上所述，实数的取值范围为.
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