题目内容
【题目】已知函数,
,
.
(1)若曲线在
处的切线与曲线
相切,求
的值;
(2)当时,函数
的图象恒在函数
的图象的下方,求
的取值范围;
(3)若函数恰有2个不相等的零点,求实数
的取值范围.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1)先写出曲线在
处的切线方程,再设切线与
相切的切点为
,
,
,
,可解出
.
(2)由题知任意,
,
恒成立,
恒成立,可得出
,令
,
,
,只需
小于
的最小值即可.
(3),
分五种情况当
,
,
,
,
时,讨论函数
单调性,分析
的零点,进而得出
的取值范围.
解:(1),
函数的导数为
,
函数在
处的切线的斜率为
,
函数在
处的切线的方程为
.
由函数在
处的切线与函数
相切,
联立,得
.
所以,得
.
(2)设函数
,
所以.
①当时,
,
,函数
在
上单调递增.
由题意,
所以.
②当时,当
时,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,函数
在
上单调递增.
由题意,
即.
又因为,
不成立.
综上所述,的取值范围为
.
(3).
①当时,若
,
,
单调递增;
若,
,
单调递减;
若,
,
单调递增.
所以的极大值为
,
所以函数的图象与
轴至多有一个交点.
④当时,若
,
,
单调递减;
若,
,
单调递增.
所以.
(1)当,即
时,函数
的图象与
轴至多有一个交点.
(2)当,即
时,
.
令,
,
,
,
,
所以当时,
,
所以,
所以存在,
.
,
所以存在,
.
(3)当时,
只有一个零点,
综上所述,实数的取值范围为
.

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