题目内容
【题目】已知椭圆Γ:的左,右焦点分别为F1(
,0),F2(
,0),椭圆的左,右顶点分别为A,B,已知椭圆Γ上一异于A,B的点P,PA,PB的斜率分别为k1,k2,满足
.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN,分别交椭圆Γ于M,N两点,问x轴上是否存在一定点Q,使得∠MQA=∠NQA成立,若存在,则求出该定点Q,否则说明理由.
【答案】(1)(2)存在;定点
【解析】
(1)设,根据题意可得
,结合椭圆的方程化简可得
,再由
即可求解.
(2)根据设直线和
的方程分别为
和
,将直线方程与椭圆方程联立求出
、
,设
轴上存在一定点
,使得
成立,则
,利用两点求斜率化简即可求得.
解:(1)设,
,
,
则.
椭圆
的标准方程为
.
(2)由(1)可知左顶点,且过点
的直线
和
的斜率存在,
设直线和
的方程分别为
和
,
设,
联立,
直线
和椭圆
交于
两点,
,
,
同理.
设轴上存在一定点
,使得
成立,则
,
,则
,
,
即,解得
.
因此轴上存在一定点
,使得
成立.
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