题目内容
【题目】已知椭圆Γ:的左,右焦点分别为F1(,0),F2(,0),椭圆的左,右顶点分别为A,B,已知椭圆Γ上一异于A,B的点P,PA,PB的斜率分别为k1,k2,满足.
(1)求椭圆Γ的标准方程;
(2)若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN,分别交椭圆Γ于M,N两点,问x轴上是否存在一定点Q,使得∠MQA=∠NQA成立,若存在,则求出该定点Q,否则说明理由.
【答案】(1)(2)存在;定点
【解析】
(1)设,根据题意可得,结合椭圆的方程化简可得,再由即可求解.
(2)根据设直线和的方程分别为和,将直线方程与椭圆方程联立求出、,设轴上存在一定点,使得成立,则,利用两点求斜率化简即可求得.
解:(1)设,
,,
则.
椭圆的标准方程为.
(2)由(1)可知左顶点,且过点的直线和的斜率存在,
设直线和的方程分别为和,
设,
联立,
直线和椭圆交于两点,
,
,
同理.
设轴上存在一定点,使得成立,则,
,则
,
,
即,解得.
因此轴上存在一定点,使得成立.
练习册系列答案
相关题目