题目内容

【题目】已知椭圆Γ的左,右焦点分别为F1(0)F2(0),椭圆的左,右顶点分别为AB,已知椭圆Γ上一异于AB的点PPAPB的斜率分别为k1k2,满足.

1)求椭圆Γ的标准方程;

2)若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AMAN,分别交椭圆ΓMN两点,问x轴上是否存在一定点Q,使得MQA=∠NQA成立,若存在,则求出该定点Q,否则说明理由.

【答案】12)存在;定点

【解析】

1)设,根据题意可得,结合椭圆的方程化简可得,再由即可求解.

2)根据设直线的方程分别为,将直线方程与椭圆方程联立求出,设轴上存在一定点,使得成立,则,利用两点求斜率化简即可求得.

解:(1)设

.

椭圆的标准方程为.

2)由(1)可知左顶点,且过点的直线的斜率存在,

设直线的方程分别为

联立

直线和椭圆交于两点,

同理.

轴上存在一定点,使得成立,则

,则

,解得.

因此轴上存在一定点,使得成立.

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