题目内容
【题目】已知函数在处的导数为,,
(1)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
(2)若在上有且只有一个零点,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由,求出,当时,易知不等式成立;当时,恒成立可转化为恒成立,令,求导判断的单调性,求出最小值,即可得到的取值范围;
(2)由(1)知,,从而,因为函数为偶函数,且,所以要使在上有且只有一个零点,只需时,和没有交点,对、、三种情况分类讨论,可得的取值范围.
(1)由题意,,由,解得,
所以,
①当时,,,不等式成立,
②当时,恒成立可转化为恒成立,
令,,
,
令,则,
因为,所以恒成立,
在上单调递减,,
又时,,所以,
所以在上单调递减,,
所以;
(2)由(1)知,,
所以,
则,
所以是偶函数,且,
所以要使在上有且只有一个零点,
只需时,和没有交点.
①当时,,
,解得,,不成立;
②当时,和的图象如图1所示,
由图像知,当时,和相交于原点,
和只有一个交点,故时成立;
③当时,和的图象如图2所示,
有图象知,要使和只有一个交点,
则对任意,有,即,
即在恒成立,
,当时,恒成立,
所以即在单调递增,,
此时成立,符合题意,
当时,存在,使得在上递减,此时,不合题意,
综上所述,当在上有且只有一个零点,.
练习册系列答案
相关题目