Question

【题目】设函数f（x），x、y∈N*满足：
①a，b∈N* ， a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
②n∈N* ， 有f（f（n））=3n，
则f（1）+f（6）+f（28）= ．

Answer 1

【答案】66
【解析】解：由①知，对任意a，b∈N* ， a≠b有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
不妨设a＜b，则有（a﹣b）（f（a）﹣f（b））＞0，
由于a﹣b＜0，从而f（a）＜f（b），
所以函数f（x）为N*上的单调增函数．
∵②n∈N* ， 有f（f（n））=3n，
∴令f（1）=a，则a≥1，显然a≠1，否则f（f（1））=f（1）=1，与f（f（1））=3矛盾．
从而a＞1，而由f（f（1））=3，
即得f（a）=3．
又由①知f（a）＞f（1）=a，即a＜3．
于是得1＜a＜3，又a∈N* ，
从而a=2，即f（1）=2．
进而由f（a）=3知，f（2）=3．
于是f（3）=f（f（2））=3×2=6，
则f（6）=f（f（3））=3×3=9，
f（9）=f（f（6））=3×6=18，
f（18）=f（f（9））=3×9=27，
f（27）=f（f（18））=3×18=54，
f（54）=f（f（27））=3×27=81，
由于54﹣27=81﹣54=27，
而且由①知，函数f（x）为单调增函数，
因此f（28）=54+1=55．
从而f（1）+f（6）+f（28）=2+9+55=66．
所以答案是：66