题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆左焦点的直线
与椭圆
交于
两点,直线
过坐标原点且直线
与
的斜率互为相反数,直线
与椭圆交于
两点且均不与点
重合,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
.证明:
为定值.
【答案】(1);(2)定值为
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据椭圆的离心率为
,且过点
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得结果;(Ⅱ)设
,联立
,消去
得
,,利用斜率公式以及韦达定理,化简可得则
,所以
为定值
.
试题解析:(Ⅰ)由题可得,解得
.
所以椭圆的方程为
.
(Ⅱ)由题知直线斜率存在,设
.
联立,消去
得
,
由题易知恒成立,由韦达定理得
,
因为与
斜率相反且过原点,
设,
,
联立,
消去得
,
由题易知恒成立,
由韦达定理得,
则
,所以
为定值
.
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