Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．

（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）[解法一] 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣ ， ，0），P（0，0，2）．

证明：易得 =（0，1，﹣2）， =（2，0，0），于是 =0，所以PC⊥AD．

[解法二] 证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，

又由AD⊥AC，PA∩AC=A，故AD⊥平面PAC，

又PC平面PAC，

所以PC⊥AD．

（2）[解法一] 解： =（0，1，﹣2）， =（2，﹣1，0），设平面PCD的一个法向量为 =（x，y，z），则 即

取z=1，则以 =（1，2，1）．又平面PAC的一个法向量为 =（1，0，0），于是cos＜ ＞= = ，sin＜ ＞=

所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为

[解法二] 解：如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．

在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH= ，由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH= = ，因此sin∠AHD= = ．所以二面角﹣PC﹣D的正弦值为

（3）解法一：设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得 =（ ，﹣ ，h）．由 =（2，﹣1，0），故cos＜ ＞= = =

所以 =cos30°= ，解得h= ，即AE= ．

[解法二] 解：如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，

设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．

由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，在RT△DAC中，CD= ，sin∠ADC= ，故sin∠AFB= ．

在△AFB中，由 ，AB= ，sin∠FAB=sin135°= ，可得BF= ，

由余弦定理，BF2=AB2+AF2﹣2ABAFcos∠FAB，得出AF= ，

设AE=h，在RT△EAF中，EF= = ，

在RT△BAE中，BE= = ，

在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，

由余弦定理得到，cos30°= ，

解得h= ，

即AE= ．

【解析】解法一（1）以A为原点，建立空间直角坐标系，通过得出 =0，证出PC⊥AD．（2）求出平面PCD，平面PCD的一个法向量，利用两法向量夹角求解．（3）设E（0，0，h），其中h∈[0，2]，利用cos＜ ＞=cos30°= ，得出关于h的方程求解即可．解法二：（1）通过证明AD⊥平面PAC得出PC⊥AD．（2）作AH⊥PC于点H，连接DH，∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在RT△DAH中求解（3）因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角．在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，由余弦定理得出关于h的方程求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解用空间向量求直线间的夹角、距离的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．