Question

【题目】已知直线l：，半径为4的圆C与直线l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）过点M (2，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）x2＋y2＝16.（Ⅱ）存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.

【解析】分析：（Ⅰ）根据已知求得a＝0，可以求出圆C的方程. （Ⅱ）分AB有斜率和没有斜率两种情况讨论，当AB有斜率时，x轴平分∠ANB， 则kAN＝－kBN ，即可求出t的值.

详解：（Ⅰ）设圆心C(a，0) ()，

则a＝0或a＝ (舍).

所以圆C的方程为x2＋y2＝16.

（Ⅱ）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－2)，

假设N(t，0) 符合题意，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由得(k2＋1)x2－4k2x＋4k2－16＝0，

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

若x轴平分∠ANB， 则kAN＝－kBN

即＋＝0＋＝0

2x1x2－(t＋2)(x1＋x2)＋4t＝0

－＋4t＝0t＝8.

所以存在点N为(8，0)时，能使得∠ANM＝∠BNM总成立.